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高等数学考试大纲解析:函数、极限和连续

  作者:暂无  来源:暂无 【 】 【打印】发表时间:2015-04-20 浏览:1630
 

(一)函数
1、知识范围
(1)函数的概念
函数的定义,函数的表示法、分段函数、隐函数
(2)函数的性质
单调性、奇偶性、有界性、周期性
(3)反函数
反函数的定义、反函数的图像
(4)基本初等函数
幂函数、指数函数,对数函数、三角函数、反三角函数
(5)函数的四则运算与复合运算
(6)初等函数
2、要求
(1)理解函数的概念。会求函数的表达式、定义域及函数值。会求分段函数的定义域、函数值,会作出简单的分段函数的图像。
(2)理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
(3)了解函数与其反函数之间的关系(定义域、值域、图像),会求单调函数的反函数。
(4)熟练掌握函数的四则运算与复合运算。
(5)掌握基本初等函数的性质及其图像。
(6)了解初等函数的概念。
(7)会建立简单实际问题的函数关系式。
(二)极限
1、知识范围
(1)数列极限的概念
数列,数列极限的定义
(2)数列圾限的性质
唯一性、有界性、四则运算法则、单调有界数列极限存在定理
(3)函数圾限的概念
函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,趋于无穷时函数的极限,函数极限的几何意义
(4)函数极限的性质
唯一性、四则运算法则
(5)无穷小量与无穷大量
无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶
(6)两个重要极限
2、要求
(1)理解圾限的概念、会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质,掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价天穷小量换求极限。
(三)连续
1、知识范围
(1)函数连续的概念
函数在一点处连续的定义、左连续与右连续函、函数在一点处连续的充分必要条件、函数的间断点及其分类
(2)函数在一点处连续的性质
连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质
有界性定理、最大值与最小值定理、介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
2、要求
(1)理解函数在一点处连续与间断的概念,理解函数在一点处连续与极限存在的关系,掌握判断函数(含分段函数)在一点处的连续性的方法。
(2)会求函数的间断点及确定其类型。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质,会用介值定理推证一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性,会利用连续性求极限。

       我们在求解函数的解析式时,需要涉及到导数、积分、级数、微分方程等基本知识,所以求解函数解析式往往是一些知识的综合应用,需要逐步求解。函数的性质是考试的重点,比如奇偶性、周期性,在极限这一章体现的不明显,但是在定积分和二重积分的运算中如果能够准确的应用就能够化简运算,解决难题,所以属于技巧性的考察,所以考生应该提起重视。函数的有界性是证明题中经常用到的,但要注意闭区间上应用,如果是开区间,就要求解左端点处的右极限、右端点处的左极限。极限是考研的重点,熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键,极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。无穷小以及无穷大量是考察的重点,首先要理解概念,弄清无穷大与无界的区别,无穷小与有界的区别,对于无穷小的运算,大家最好能够熟练掌握等价无穷小代换,这样可以化简极限运算,但在运算中要注意等价无穷小代换的条件,一般是积式用。在这需要大家注意一下阶的概念。我们应用最值定理估值计算,应用介值定理证明存在零点。函数的连续性是考试的重点,可能考察函数、分段函数、绝对值函数、导函数的连续性,应用左右极限进行求解,在求解过程中经常会遇到一些特殊的函数比如指数函数,反三角函数,当变量趋近于不同的值时,极限可能不同。

 




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